题目内容

如果一个n面体共有m个面是等腰三角形，那我们称这个n面体的“等度”为
m
n
，现在以下说法：
①已知p：一个三棱锥的“等度”是1，q：该四面体为正四面体，则p是q的充要条件；
②已知方程sinx=
m
n
，x（0，π），则该方程一定有两解；
③若四棱锥从同一个顶点出发的四条棱长与底面边长均为a，则其等度为
4
5
，且体积
2
6
a3；
④正六棱锥的等度为
6
7
；
⑤已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，现截去一顶点为A的三棱锥A-BCA1，则剩余几何体的等度为
4
7
，且体积为
5
6
．
其中正确的为
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：新定义
分析：根据等度的定义一一判断，对于②可取特殊值x=
π
2
，同时要注意棱锥的体积公式是V=
1
3
sh，不规则几何体的体积运用间接法求得．
解答： 解：对于①，若一个三棱锥的“等度”是1，只能说明其四个面均为等腰三角形，但不一定均为等边三角形，故p是q的必要不充分条件．故①错；
对于②，令f（x）=
m
n
，g（x）=sinx，x∈（0，π），因为
m
n
∈[0，1]，故当x=
π
2
时，f（x），g（x）只有一个交点，即方程只有一个实根．故②错；
对于③，可知该棱锥为正四棱锥，共有5个面，其中4个为等腰三角形，故等度为
4
5
，体积为V=V=
1
3
a2
a2-(
2
2
a)2
=
2
6
a3，故③对；
对于④，正六棱锥有7个面，其中侧面有6个等腰三角形，故等度为
6
7
，故④对；
对于⑤，截去的为一个三棱锥，总的面数为7，其中等腰三角形3个，等边三角形1个，故等度为
4
7
，剩余几何体的体积为13-
1
3
•
1
2
•1•1•1=
5
6
，故⑤对．
故答案为：③④⑤．
点评：本题是一道新定义题，考查学生的理解能力和空间想象能力和判断能力，是一道中档题．
练习册系列答案
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2
3
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1
2
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．
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ex
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.
z
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A、（1，+∞）
B、（-∞，0）
C、（0，+∞）
D、（-∞，1）

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