Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（0＜ω＜1，0≤?≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（

3

4

π，0）对称．
（1）求?，ω的值
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）x∈[-

3π

4

，

π

2

]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意和诱导公式求出?的值，再由余弦函数的对称中心求出ω的值；
（2）根据余弦函数的增区间，把

2

3

x整体代入求出x的范围，再表示成区间的形式；
（3）由x得范围求出

2

3

x的范围，再由余弦函数的性质求出最值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin（ωx+?）是R上的偶函数，
∴?=

π

2

+kπ，k∈Z，且0≤?≤π，则?=

π

2

，
即f（x）=cos（ωx），
∵图象关于点M(

3

4

π，0)对称，
∴ω×

3

4

π=

π

2

+kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，∴ω=

2

3

，
（2）由（1）得f(x)=cos(

2

3

x)，
由-π+2kπ≤

2

3

x≤2kπ且k∈Z得，3kπ-

3π

2

≤x≤3kπ，
∴函数的递增区间是：[3kπ-

3π

2

，3kπ]，k∈Z，
（3）∵x∈[-

3π

4

，

π

2

]，∴

2

3

x∈[-

π

2

，

π

3

]，
当

2

3

x=0时，即x=0，函数f（x）的最大值为1，
当

2

3

x=-

π

2

时，即x=-

3π

4

，函数f（x）的最小值为0．

点评：本题主要考查了余弦函数的奇偶性、单调性和最值问题，主要利用整体思想，属于中档题．