Question

【题目】教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为.我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用.已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求的值

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点分别作该椭圆的两条切线，且与交于点.当变化时，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）联立直线与椭圆方程，根据相切利用判别式即可求解；

（2）求出直线的方程，求出弦长和点到直线的距离，表示出的面积，再求最大值.

（1）将直线代入椭圆方程，

可得：，

由直线和椭圆相切：，，

解得：；

（2）椭圆方程，

设，

则两点处的切线分别为：

，，两条直线交于点，

则，，即两点在直线上，

所以直线的方程为，

所以到直线的距离，

由得：，是方程的两根，

，

，

所以的面积：

，

根据基本不等式，当且仅当时等号成立，

所以的面积，

当且仅当时面积取得最大值.