Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|≥

3

2

|AF|时，

|HF|

|OA|

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线的几何性质，可得|HF|=

b2

c

，|AF|=c-a，依题意，|HF|≥

3

2

|AF|，可得

b2

c

≥

3

2

（c-a），化简可得

|HF|

|OA|

=

b2

ac

=e-

1

e

，构造函数f（x）=x-

1

x

，分析其单调性，可得f（x）的最大值，即可得答案．

解答：解：|HF|=

b2

c

，|AF|=c-a，
则

b2

c

≥

3

2

（c-a）?

c+a

c

≥

3

2

?c≤2a?e≤2

|HF|

|OA|

=

b2

ac

=e-

1

e

，
记f（x）=x-

1

x

，函数f（e）在（1，2]上递增，
∴f（x）≤f（2）=

3

2

；
故答案为：

3

2

．

点评：本题涉及双曲线的几何性质以及函数的单调性，是一道综合性的题目，有一定的难度，平时注意多多训练．