Question

12．已知圆x²+y²+x-y+m=0与直线x+y-3=0交于点P、Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

分析 化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由OP⊥OQ，可得圆心到直线的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，结合点到直线的距离公式可得答案．

解答 解：由x²+y²+x-y+m=0，得$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}-m$，
则m$＜\frac{1}{2}$，圆的半径r=$\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，
∵OP⊥OQ，∴圆心（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）到直线x+y-3=0的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，
则$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-3|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，解得：m=$-\frac{17}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．