Question

已知二次函数，f（x）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函数y=f(sinx+

3

cosx)(x∈R)的最大值为

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，设n∈N*，S=

n

f(n)

+

n+1

f(n+1)

+…+

3n-1

f(3n-1)

+

3n

f(3n)

，求证：

3

4

＜S＜2；
（3）当a＞2时，求证f（sin²xlog2sin²x+cos²xlog2cos²x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈z）

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式，我们可以确定函数y=f(sinx+

3

cosx)(x∈R)的解析式，进而利用换无法，可将问题转化了一个二次函数在定区间上的最值问题，进而得到答案．
（2）由（1）中函数的解析式，利用数列求和的办法可以现S，再根据S的单调性，即可得到答案．
（3）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

，利用换元法我们可以将不等与左边对应的函数转化为f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），进而根据二次函数的性质，判断出其最值，并将问题转化为一个函数恒成立问题，最后得到结论．

解答：解：（1）令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，∵x∈R，∴-2≤t≤2，y=t2+at=(t+

a

2

)2-

a

4

，
当a＜0时，t=2时，y最大=4-2a=

16

3

，解得：a=-

2

3

，
此时，f(x)=(x-

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

．
当a≥0时，t=2时，y最大=4+2a=

16

3

，解得：a=

2

3

此时，f(x)=(x+

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

综合上述，条件满足时，f（x）的最小值为-

1

9

（5分）
（2）∵S=

n

f(n)

+

n+1

f(n+1)

+∧+

3n-1

f(3n-1)

+

3n

f(3n)

=

1

n+2

+

1

n+3

+∧+

1

3n+1

+

1

3n+2

设S(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+∧+

1

3n+1

+

1

3n+2

；
则S(n+1)=

1

n+3

+

1

n+4

+∧+

1

3n+4

+

1

3n+5

S(n+1)-S(n)=

1

3n+3

+

1

3n+4

+

1

3n+5

-

1

n+2

＞

3

3n+5

-

1

n+2

=

1

(3n+5)(n+2)

＞0
∴S（n）在n∈N^*时单调递增，∴S=S(n)≥S(1)=

47

60

＞

45

60

=

3

4

又

1

n+2

＞

1

n+3

＞∧＞

1

3n+1

＞

1

3n+2

∴S＜

1

n+2

(2n+1)=2-

3

n+2

＜2∴综上有：

3

4

＜S＜2成立．（5分）
（3））∵x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

(k∈Z)，∴sin²x，cos²x∈（0，1），
又sin²x+cos²x=1，故设t=sin²x，则有cos²x=1-t
设f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））f′(t)=log2t+log2e-log2(1-t)-log2e=log2

t

1-t

令f'（t）=0，得t=

1

2

当0＜t＜

1

2

时，f'（t）＜0，所以f（t）在（0，

1

2

）单调递减，
当

1

2

＜t＜1时，f'（t）＞0，所以f（t）在（

1

2

，1）单调递增，
∴t=

1

2

时f（t）取最小值等于f(

1

2

)=

1

2

log2

1

2

+

1

2

log2

1

2

=log2

1

2

=-1
即有sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x≥-1
当日a＞2时，f（x）=x²+ax的对称轴x=-

a

2

＜-1，
∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，∴f（sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥f（-1）=1-a（5分）

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，不等式的综合，三角函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．