Question

已知直线l：y=2x-

3

与椭圆C：

x2

a2

+y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x₀＜

3

2

；
（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）把y=2x-

3

代入

x2

a2

+y²=1 （a＞1），得(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，x0=

xp+xq

2

=

2 3 a2

4a2+1

，mh 4a²+1＞4a²，能够证明x0＜

3

2

．
（2）由题设知

PA

•

PB

=0，（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，所以(xp-a)(xq-a)+(2xp-

3

)(2xq-

3

)=0，即4a4-4

3

a3-a2+3=0，由a＞1，得4a3-a-

3

＞0，故a=

3

．由此能求出椭圆C的方程．

解答：解：（1）证明：把y=2x-

3

代入

x2

a2

+y²=1 （a＞1），
得：

x2

a2

+（2x-

3

）²=1（a＞1），
整理，得(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
∴x0=

xp+xq

2

=

2 3 a2

4a2+1

，
∵4a²+1＞4a²，
∴x0＜

3

2

．
（2）由题设知

PA

•

PB

=0，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵yp=2xp-

3

，yq=2xq-

3

，
∴(xp-a)(xq-a)+(2xp-

3

)(2xq-

3

)=0，
由(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
知xp+xq=

4 3 a2

4a2+1

，xpxq=

2a2

4a2+1

，
∴4a4-4

3

a3-a2+3=0，
即(a-

3

) (4a3-a-

3

)  =0，
∵a＞1，
∴4a3-a-

3

＞0，故a=

3

．
∴椭圆C的方程

x2

3

+y2=1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．