Question

如图,在梯形中，,，,平面平面,四边形是矩形,,点在线段EF上.

(1)求异面直线与所成的角；
(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）90⁰；（2）.

试题分析：（1）要求异面直线所成的角，可转化为求其中一条直线与另外一直线的平行线所成的角的大小；（2）法一：利用几何法，求二面角需要先找出二面角的平面角，再在平面角所在的三角形中根据边长由余弦定理求平面角的余弦值，即二面角的余弦值；法二：利用向量法，首先建立直角坐标系，写出所需各点的坐标以及向量的坐标，再设出二面角所在两个面的法向量，利用向量垂直求出法向量的一组值，求两个法向量的夹角的余弦值，从而得二面角的余弦值.
试题解析：（1）在梯形ABCD中,∵,
∴四边形ABCD是等腰梯形,且
∴,∴
又∵平面平面ABCD,交线为AC,∴平面ACFE. ∴平面FE.
∴异面直线与所成的角为90⁰                              7分
（2）方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH,
∵容易证得DE=DF,∴
∵平面ACFE,∴ 又∵,∴
又∵,∴
∴是二面角B—EF—D的平面角.
在△BDE中
∴∴,
∴又∴在△DGH中,
由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值为.   15分
方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系，

,,,,
所以,,
分别设平面BEF与平面DEF的法向量为
,
所以,令,则
又，显然,令
所以,,设二面角的平面角为为锐角
所以     15分