题目内容

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx（x＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

分析 （1）确定函数的导函数，利用导数的正负，求解函数的单调区间．
（2）通过函数的单调性，从而可得函数的极值．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx，
f′（x）=x+1-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0得x＜-2或x＞1；令f′（x）＜0得-2＜x＜1，
∵x∈（0，+∞），
∴函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）由（1）可知函数f（x）在x=1处取得极小值$\frac{3}{2}$，无极大值．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．

练习册系列答案
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8．下列四个命题：
（1）函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）在区间（-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}）$内单调递增．
（2）函数$y=cos（x+\frac{π}{3}）$的图象关于点$（\frac{π}{6}，0）$对称．
（3）函数$y=tan（x+\frac{π}{3}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$成轴对称．
（4）把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到函数y=3sin2x的图象．
其中真命题的序号是（2）（4）．
9．已知向量$\overrightarrow a=（-2，cosα）$，$\overrightarrow b=（-1，sinα）$，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则$tan（α+\frac{π}{4}）$等于（　　）
A．3B．-3C．$\frac{1}{3}$D．$-\frac{1}{3}$
6．在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想数列{an}的通项an，并证明你的结论．
13．在棱柱中（　　）
A．只有两个面平行B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也平行
3．已知函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若a=2，当x∈[-1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．
【提示：第（1）问利用定义；第（2）问先确定f（x）的单调性，转化为求f（x）的最值】
10．已知函数f（x）=ex+ax-a（a∈R且a≠0）．
（1）若f（0）=2，求实数a的值；并求此时f（x）的单调区间及最小值．
（2）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．
7．解不等式：
（1）解不等式：$\frac{3-x}{5+2x}$≤0．
（2）解不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x＜0}\\{\frac{1}{x}≤x}\end{array}}$．
8．设集合A={0，1，2}，集合B={x|x=ab，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集个数（　　）
A．13B．14C．15D．16

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