Question

3．已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若a=2，当x∈[-1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．
【提示：第（1）问利用定义；第（2）问先确定f（x）的单调性，转化为求f（x）的最值】

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若a=2，当x∈[-1，1]时，f（x）≥m恒成立，则m不大于函数的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）的定义域R关于原点对称，
且f（-x）=（a^-x-a^x）=-（a^x-a^-x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）若a=2，则f（x）=2^x-2^-x，
则f′（x）=ln2（2^x+2^-x）＞0恒成立，
即函数f（x）为增函数，
若x∈[-1，1]，则当x=-1时，函数f（x）取最小值-$\frac{3}{2}$，
∵当x∈[-1，1]时，f（x）≥m恒成立，
∴m≤-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，难度中档．