Question

已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线长相等)，动点C的轨迹为曲线M.

(1)求曲线M的方程；

(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

Answer 1

解：(1)由题知，|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4>|AB|，∴曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点)．

设曲线M：＋＝1(a>0>0，y≠0)，则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3.

∴曲线M：＋＝1(y≠0)．

(2)注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，

设直线BC：x＝my＋1，C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)．

由消去x，得

(3m²＋4)y²＋6my－9＝0.

Δ＝36m²＋36(3m²＋4)>0.

∵＝(my₁＋2，y₁)，＝(my₂＋2，y₂)，

＝(my₁＋2)(my₂＋2)＋y₁y₂

＝(m²＋1)y₁y₂＋2m(y₁＋y₂)＋4

∵点A在以CD为直径的圆上，

∴＝0，∴m＝±.

∴直线BC的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.