Question

在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积V_S－ABC。

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，

∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=，

S_△ABC=·AC·BC=×5×5=，

∴V_S－ABC=·S_△ACB·SA=。