Question

已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
① 记，求证：数列为等差数列；
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

Answer 1

（1）
（2）①根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明。从第二项起满足题意即可。
②当，数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

试题分析：解：（1）当时，有
．
又也满足上式，所以数列的通项公式是．    4分
（2）①因为对任意的，有，所以，
，
所以，数列为等差数列．                    8分
②设（其中为常数且，
所以，，
即数列均为以7为公差的等差数列．               10分
设．
（其中为中一个常数）
当时，对任意的，有；             12分
当时，．
（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；
（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．
综上所述，集合．
当时，数列中必有某数重复出现无数次；
当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．     18分
点评：主要是考查了等差数列的概念和数列的单调性的运用，属于难度题。