Question

8．已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展开式中，第二项系数是第三项系数的$\frac{1}{5}$，
（Ⅰ）展开式中二项式系数最大项；
（Ⅱ）若$（x+2）^{n}={a}_{0}+{a}_{1}（x+1）+{a}_{2}（x+1）^{2}+…+$${a}_{n}（x+1）^{n}$，求：
①a₁+a₂+…+a_n的值；
②a₁+2a₂+…+na_n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得n=6，再利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得展开式中二项式系数最大项．
（Ⅱ）在所给的等式中，①令x=-1，可得a₀=1，再令x=0，可得要求的式子的值；②对于（x+2）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+${a}_{n}（x+1）^{n}$，两边同时对x求导数，再令x=0，可得要求的式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展开式中，第二项系数是第三项系数的$\frac{1}{5}$，
∴2${C}_{n}^{1}$=$\frac{1}{5}$•2²•${C}_{n}^{2}$，求得n=6，
故展开式中二项式系数最大项为第四项，T₄=${C}_{6}^{3}$•x³•2³=160x³．
（Ⅱ）①若$（x+2）^{n}={a}_{0}+{a}_{1}（x+1）+{a}_{2}（x+1）^{2}+…+$${a}_{n}（x+1）^{n}$=[（x+1）+1]⁶，
令x=-1，可得a₀=1，
再令x=0，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=64，∴a₁+a₂+…+a_n=63．
②对于（x+2）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+${a}_{n}（x+1）^{n}$，两边同时对x求导数，
可得6（x+2）⁵=a₁+2a₂（x+1）+…+6a₆（x+1）⁵，
再令x=0，可得a₁+2a₂+…+na_n =a₁+2a₂+…+6a ₆=192．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．