Question

14．设向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{π}{2}$x，$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$，求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）在区间[0，1]上的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的数量积运算，利用三角函数的恒等变换化简f（x），即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据x∈[0，1]，利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的最值以及对应的x的取值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{π}{2}$x，$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$
=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x）•（3sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x）
=3sin²$\frac{π}{2}$x+（cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x）cos$\frac{π}{2}$x
=$\sqrt{3}$sinπx-cosπx+2
=2sin（πx-$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{π}$=2；
（2）∵x∈[0，1]，∴πx-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（πx-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
当πx-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）取得最小值为2×（-$\frac{1}{2}$）+2=1，
当πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得最大值为2×1+2=4．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换问题，也考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．