Question

4．已知α，β均为锐角，且cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，则sinβ的值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{25}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得 sinα和cos（α-β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[α-（α-β）]的值．

解答 解：∵α，β均为锐角，cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，∴cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
则sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{4}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．