题目内容

试讨论函数f（x）=log_a $数学公式$ （a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

解：设u= $\text{[math]}$ ，任取x₂＞x₁＞1，则
u₂-u₁= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0．
又∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．
∴ $\text{[math]}$ ＜0，即u₂＜u₁．
当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_au₂＜log_au₁，
即f（x₂）＜f（x₁）；
当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_au₂＞log_au₁，
即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知，当a＞1时，f（x）=log_a $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）=log_a $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上为增函数．
分析：将函数f（x）看作是由y=log_a^u和u= $\text{[math]}$ 两个函数复合而来，先证用单调性定义证明u= $\text{[math]}$ 的单调性，再用复合函数单调性的结论（同增异减）得到结论．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意定义域．

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