Question

已知函数f(x)=

ex

x2-ax+1

(a≥0)，
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=

2

3

，不等式f（x）≥kx对于任意的x∈R恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，然后讨论a，得到导数符号，从而得到函数的单调区间；
（Ⅱ）分离参数，确定函数的最值，即可求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

ex(x-1)[x-(a+1)]

(x2-ax+1)2

，
当a=0时，函数定义域为R，f′（x）=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，∴f（x）在R上单调递增
当a∈（0，2）时，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函数定义域为R，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增
当a=2时，函数定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=

ex(x-3)

x-1

∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增
当a∈（2，+∞）时，∵△=a²-4＞0，设x²-ax+1=0的两个根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韦达定理易知两根均为正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函数的定义域为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又对称轴x=

a

2

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）单调递增，（1，x₂），（x₂，a+1）上单调递减，（1+a，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若a=

2

3

，f(x)=

ex

x2- 2 3 x+1

的定义域为R，f(x)=

ex

x2- 2 3 x+1

＞0恒成立
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，f（0）=1
∴k＜0，不等式f（x）≥kx在（-∞，0）上不恒成立，∴k≥0
不妨考虑x＞0，则k≤

ex

x3- 2 3 x2+x

设g（x）=

ex

x3- 2 3 x2+x

，则g′（x）=

ex(x-3)[(x- 1 3 )2+ 8 9 ]

(x3- 2 3 x2+x)2

∴g（x）在（0，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增
∴g（x）_min=g（3）=

e3

24

∴k的取值范围是k∈[0，

e3

24

]．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．