Question

已知函数f（x）=e^x+ae^-x，
（1）试讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=e^x+e^-x，f（-x）=e^x+e^-x=f（x），∴f（x）是偶函数；
当a=-1时，f（x）=e^x-e^-x，f（-x）=e^-x-e^-x=-f（x），∴f（x）是奇函数；
当a≠1且a≠-1，函数f（x）=e^x+ae^-x是非奇非偶函数．
（2）用定义法说明：
对任意的x₁，x₂＞1，且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)(1-

a

ex2ex1

)＞0
∴a＜ex2ex1，对任意的x₁，x₂＞1恒成立，
∴a≤e²．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义．