题目内容

已知函数f（x）=sinx+cosx，
（1）若f（x）=2f（-x），求
cos2x-sinxcosx1+sin2x
的值；
（2）设函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x），试讨论函数F（x）的单调性．
分析：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；
（II）先由题意求出F（x）=cos2x+sin2x+1，再由两角和的正弦公式化简，由正弦函数的单调区间和整体思想求出F（x）的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=
1
3
，
则
cos2x-sinxcosx
1+sin2x
=
cos2x-sinxcosx
cos2x+2sin2x

=
1-tanx
1+2tan2x
=
1-
1
3
1+2×(
1
3
)2
=
6
11
，
（Ⅱ）由题意知，F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1，
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ（k∈z）得
-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ（k∈z），
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ（k∈z）得，
π
8
+kπ≤x≤
5π
8
+kπ（k∈z），
∴函数F（x）的单调递增区间为 [-
3π
8
+kπ，
π
8
+kπ]（k∈z），
单调递减区间为[
π
8
+kπ，
5π
8
+kπ]  （k∈z）．
点评：本题考查了三角函数的化简求值以及复合函数的单调性，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解题的关键，同时注意“1”和sin2x+cos2x的灵活转化，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
π
3
时，取得极小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．
已知函数f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b
x
在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-
1
x2
是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面积S．
（1）已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1-1
01
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

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