Question

【题目】如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆四点， ，则的值为（ ）

A. B. C. 1 D.

Answer 1

【答案】A

【解析】抛物线焦点准线方程为，

圆的圆心是(,0)半径r=，

过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及圆于点A，B，C，D，

A，D在抛物线上，B，C在圆上

①若直线的斜率不存在,则直线方程为x=，

代入抛物线方程和圆的方程，

可直接得到ABCD四个点的坐标为(,p),( ,),(,)(,p)，

所以|AB||CD|=pp=2，

解得；

②若直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x)，

因为直线过抛物线的焦点(,0)，

不妨设A(x1,y1),D(x2,y2)，

由抛物线的定义,|AF|= x1+,|DF|= x2+，

把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得

k2x2(pk2+2p)x+k2=0，

由韦达定理有x1 x2=，

而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，

所以|BF|=|CF|=r=p，

从而有|AB|=|AF||BF|= x1，

|CD|=|DF||CF|= x2，

由|AB||CD|=2,即有x1 x2=2，

由=2,解得.

故选：A.