Question

9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证AD⊥PB．
（2）在棱AB上是否存在点F，使DF与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，确定线段AF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直，可得线面垂直，从而可得线线垂直，进而可得线面垂直，即可证得结论；
（2）利用DF与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求出DF，即可求出AF．

解答 （1）证明：取AD中点O，连接PO，OB，
因为平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，O为AD的中点，
所以PO⊥平面ABCD，PO⊥AD
因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，O为AD中点，
所以BO⊥AD
因为PO∩BO=O，所以AD⊥面PBO，所以AD⊥PB；
（2）解：在△OCD中，OC=$\sqrt{1+4-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，∴PC=$\sqrt{10}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
设A到平面PCD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∵DF与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{DF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DF=$\sqrt{3}$，
∴F是AB的中点，AF=1．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．