Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A为原点，、、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅱ）由F为CD中点，知F（a，a，0），．由此利用向量法能求出直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）以A为原点，、、分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（1分）
设AB=a，因为△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，
所以B（0，0，a），C（2a，0，0），D（0，2a，0），E（0，2a，2a），…（2分）
所以，，
，．…分
设平面BCE的法向量为=（x，y，z），
则由，得，
令z=2，则=（1，-1，2）．…（5分）
设平面CDE的法向量为=（x，y，z），
则由，得，
令x=1，则=（1，1，0）．…（7分）
所以=0，所以平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（Ⅱ）因为F为CD中点，所以F（a，a，0），．
则cos＜，＞===-．…（11分）
设直线BF和平面BCE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜|=||=．
所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．…（15分）
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．