Question

（2012•许昌二模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF∥BP，从而可得AF∥平面BCE．
（II）计算直角梯形ABED的面积，C到平面ABDE的距离，即可求得多面体ABCDE的体积．

解答：（Ⅰ）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）解：∵直角梯形ABED的面积为

1+2

2

×2=3，C到平面ABDE的距离为

3

2

×2=

3

，
∴四棱锥C-ABDE的体积为V=

1

3

×3×

3

=

3

．即多面体ABCDE的体积为

3

．

点评：本题考查线面平行，考查多面体体积的计算，正确运用线面平行的判定是关键．