Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（I）求证：AF∥平面BCE；
（II）求二面角D-BC-E的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AF∥BG，从而证明AF∥平面BCE；
（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，则∠ENM为二面角D-BC-E的平面角，由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM=

3

a，在△BCE中，

1

2

BC×EN=

1

2

CE×BG，可得EN=

2 30 a

5

，从而可求二面角D-BC-E的正弦值

解答：（I）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，则∠ENM为二面角D-BC-E的平面角
设AB=a，则AD=DE=2a，所以BC=BD=

5

a，AF=2a，CE=2

2

a
由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD
∵BG⊥DE，CD∩DE=D，∴BG⊥面CDE
由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM=

3

a
在△BCE中，

1

2

BC×EN=

1

2

CE×BG，∴EN=

2 30 a

5

设二面角D-BC-E的平面角θ，则sinθ=

EM

EN

=

10

4

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出面面角，属于中档题．