Question

已知等差数列{a_n}、等比数列{b_n}满足a₁+a₂＝a₃，b₁b₂＝b₃，且a₃，a₂+ b₁，a₁+ b₂成等差数列，a₁，a₂，b₂成等比数列．

    （1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；

（2）按如下方法从数列{a_n}和数列{b_n}中取项：

第1次从数列{a_n}中取a₁，

第2次从数列{b_n}中取b₁，b₂，

第3次从数列{a_n}中取a₂，a₃，a₄，

第4次从数列{b_n}中取b₃，b₄，b₅，b₆，

……

第2n－1次从数列{a_n}中继续依次取2n－1个项，

第2n次从数列{b_n}中继续依次取2n个项，

……

由此构造数列{c_n}：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂，…，记数列{c_n}的前n和为S_n．求满足S_n＜2²⁰¹⁴的最大正整数n．

Answer 1

（1）解：设等差数列{a_n}的公差为，等比数列{b_n}的公比为，

依题意，得   解得a₁=d=1，b­₁=q=2．

故a_n=n，b_n=2ⁿ．…

（2）解：将a₁，b₁，b₂记为第1组，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆记为第2组，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{a_n}，有2 n项选取于数列{b_n}，前n组共有n²项选取于数列{a_n}，有n²＋n项选取于数列{b_n}，记它们的总和为P_n，并且有．

，

．

当＋（2＋2²＋…＋2²⁰¹²）时，

．当＋（2＋2²＋…＋2²⁰¹³)时，

．

可得到符合的最大的n=45²＋2012=4037．