Question

已知椭圆E的方程为，其左焦点为F，点M（-3，0），过点F的直线（不垂直于坐标轴）与E交于A，B两点．
（I）证明：∠AMF=∠FMB；
（II）求△MAB面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I） 由  可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂ 
的值，求得AM 和BM 的斜率之和 K_AM+K_BM=0，从而得到∠AMF=∠FMB  成立．
（II）由△MAB面积S= MF•|y₁-y₂|=•，令 t=1+3k²，t≥1  得S=•≤，从而得出结论．
解答：解：（I）证明：根据题意，设AB的直线方程为 y=k（x+2），k≠0，A （x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
由  可得  （1+3k²）x²+12k² x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴K_AM+K_BM==，
∴2x₁•x₂+5（x₁+x₂）+12=++12=0，
∴∠AMF=∠FMB  成立．
（II）求△MAB面积S= MF•|y₁-y₂|=•|k|• 
==•．
令 t=1+3k²，t≥1，则 S=•=•≤，
故△MAB面积S的最大值等于 ．
点评：本题考查直线的斜率公式，直线和圆锥曲线的位置关系，弦长公式的应用，得到△MAB面积S=
•，是解题的难点．