题目内容

（14分）已知定义在的函数同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③当时，总有成立．

    （1）函数在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；

    （2）假设存在，使得且，求证：．

解析：（1）显然，在[0，1]满足①；满足②；

对于③，若，

则

 ．故适合①②③．

（2）由③知，任给时，当时，

由于，所以

若，则 前后矛盾

若，则 前后矛盾,故得证
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f（x）同时满足条件：（1）f（0）=2；（2）f（x）＞1，且
lim
x→-∞
f(x)=1；（3）当x∈R时，fn（x）＞0．若f（x）的反函数是f-1（x），则不等式f-1（x）＜0的解集为（　　）
A、（0，2）
B、（1，2）
C、（-∞，2）
D、（2，+∞）
已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①f(0)=f(
π
4
)=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin2n（m，n∈R）．
则（1）f(
π
2
+x)+f(x)=
4
4
；
（2）函数f（x）的最大值是
2+
2
2+
2
．
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f(
3
)的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(
x0
y0
)+
1
2
=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B．

（本小题满分14分）

已知定义在的函数同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③当时，总有成立．

   （1）函数在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；

   （2）设，且，试比较与的大小；

   （3）假设存在，使得且，求证：．

 

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