题目内容
已知定义在R上的函数f(x)同时满足:
①f(0)=f(
)=1;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).
则(1)f(
+x)+f(x)=
(2)函数f(x)的最大值是
①f(0)=f(
π |
4 |
则(1)f(
π |
2 |
4
4
;(2)函数f(x)的最大值是
2+
2 |
2+
.2 |
分析:(1)将
+x变形为(
+x)+
,x变形为(
+x)-
,根据题意代入②中,利用特殊角的三角函数值化简即可求出值;
(2)令m=
,n=
+x,根据题意代入②中,利用特殊角的三角函数值化简,表示出f(
+x)+f(-x),记作(i),令m=0,n=x,根据题意代入②中,利用特殊角的三角函数值化简,表示出f(
+x)-f(-x),记作(ii),(ii)-(i)表示出f(x)-f(-x),记作③,令m=0,n=x,根据题意代入②中,利用特殊角的三角函数值化简,表示出f(x)+f(-x),记作④,(③+④)÷2得到f(x)的解析式,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可求出函数的最大值.
π |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
(2)令m=
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
π |
2 |
解答:解:(1)由题意得:f(
+x)+f(x)=f[(
+x)+
]+f[(
+x)-
]=2f(
+x)cos
+8sin2
=8×(
)2=4;
(2)令m=
,n=
+x,
根据题意得:f(
+
+x)+f(
-
-x)=f(
+x)+f(-x)
=2f(
)cos(
+2x)+8sin2(
+x)=4-2sin2x(i),
又由(1)得f(
+x)+f(x)=4(ii),
∴(ii)-(i)得:f(x)-f(-x)=4-(4-2sin2x)=2sin2x③,
令m=0,n=x,
根据题意得:f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2cos2x+8sin2x=2cos2x+8×
=4-2cos2x④,
(③+④)÷2得:f(x)=2-(sin2x+cos2x)=2-
sin(2x+
),
∵sin(2x+
)∈[-1,1],
∴f(x)的最大值为2+
.
故答案为:(1)4;(2)2+
π |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
| ||
2 |
(2)令m=
π |
4 |
π |
4 |
根据题意得:f(
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
=2f(
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
又由(1)得f(
π |
2 |
∴(ii)-(i)得:f(x)-f(-x)=4-(4-2sin2x)=2sin2x③,
令m=0,n=x,
根据题意得:f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2cos2x+8sin2x=2cos2x+8×
1-cos2x |
2 |
(③+④)÷2得:f(x)=2-(sin2x+cos2x)=2-
2 |
π |
4 |
∵sin(2x+
π |
4 |
∴f(x)的最大值为2+
2 |
故答案为:(1)4;(2)2+
2 |
点评:此题考查了函数解析式的求解及常用的方法,函数的值,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,弄清题意中的①和②是解本题的关键.
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练习册系列答案
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