题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： 
（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ 
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣ 
=0得c+0﹣ =0，解得c= ．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点P（x0 ， y0），
则 
， 
，相减得 
，
∴ 
，
∴ 
，又 
= 
，
∴ 
，即a2=2b2 ．
联立得 
，解得 
，
∴M的方程为 
．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立 
，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），∴ 
， 
．
∴|CD|= 
= 
= 
．
联立 
得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 
，
∴交点为A（0， ），B 
，
∴|AB|= 
= 
．
∴S四边形ACBD= 
= 
= 
，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为 
，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点P（x0 ， y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣ 
=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD= 
即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
