Question

若f（x）=-

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2

x2+bln（x+2）在（0，+∞）上是减函数，则b的取值范围是

{b|b≤0}

．

Answer 1

分析：因为函数f（x）=-

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2

x2+bln（x+2）在（0，+∞）上是减函数，所以f（x）的导数当x＞0时横小于等于0，就可得到一个含b和x的不等式，分离b，x，得到b≤x²+2x，若该不等式在x＞0时恒成立，则b小于等于x²+2x的最小值，再借助x²+2x的单调性求最小值即可．

解答：解：对f（x）=-

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x2+bln（x+2）求导，得，f′（x）=-x+

b

x+2

，
∵f（x）=在（0，+∞）上是减函数，∴当x＞0时，f′（x）≤0恒成立．
即-x+

b

x+2

≤0在x＞0时恒成立，
化简得，当x＞0时，b≤x²+2x恒成立．
令t=x²+2x，当x＞0时，t＞0，
∴b≤0
故答案为{b|b≤0}

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，以及恒成立问题的解法．