Question

19．已知函数f（x）=-sin²x+sinx+a，
（1）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围；
（2）若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，恒有1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可转化为a=sin²x-sinx有解，（-1≤sinx≤1），通过求解函数y=sin²x-sinx（-1≤sinx≤1）的值域确定a的范围；
（2）把sinx看成一个整体，求出函数f（x）的值域为[a，a+$\frac{1}{4}$]，再根据题意得[a，a+$\frac{1}{4}$]⊆[1，$\frac{17}{4}$]，即可求出a的范围．

解答 解：（1）∵sinx∈[-1，1]
若f（x）=0有实数解⇒a=sin²x-sinx=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$有解
y=sin²x-sinx在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上单调递减，[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增
从而y=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$∈[-$\frac{1}{4}$，2]，
∴a∈[-$\frac{1}{4}$，2]；
（2）f（x）=-sin²x+sinx+a
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{1}{4}$．
由$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，$\frac{1}{2}$≤sinx≤1可以的出函数f（x）的值域为[a，a+$\frac{1}{4}$]，
由1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$得[a，a+$\frac{1}{4}$]⊆[1，$\frac{17}{4}$]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a+\frac{1}{4}≤\frac{17}{4}}\end{array}\right.$⇒1≤a≤4，
故a的范围是1≤a≤4．

点评 本题主要以正弦函数的值域为载体，考查二次函数在闭区间上的值域，属于中档题．