Question

已知函数f(x)满足f(x²－3)＝log_a(a＞0且a≠1)，

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)解不等式f(x)≥log_a(2x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令t＝x2－3，因为＞0，得0＜x2＜6，故－3＜t＜3； 　　所以x2＝t＋3，6－x2＝3－t，可得f(t)＝loga，－3＜t＜3，所以函数解析式为f(x)＝loga，－3＜x＜3． 　　(2)因为函数的定义域为(－3，3)关于原点对称，任取x∈(－3，3)，有 　　f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 　　(3)由f(x)≥loga(2x)，即loga≥loga(2x)． 　　当a＞1时，有 　　0＜x≤1或≤x＜3； 　　当0＜a＜1时，有1≤x≤． 　　综上可得：当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x≤1或≤x＜3}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1≤x≤}． 　　点评：求解函数解析式时不要忘记函数的定义域，求解对数不等式实际是解不等式组，真数大于0不要忽略；准确运用底数的范围对函数单调性的影响，从而得出正确的不等式．

提示：

这是个对数式的复合函数问题，对于求解解析式一般的方法是换元思想，但要注意所求解析式的定义域；利用定义判断函数的奇偶性；求解对数不等式时，底数未知要进行分类讨论．