Question

已知函数f(x)满足f(1)=

1

4

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，xy∈R，则f（2013）-f（2012）=

 

．

Answer 1

分析：由于题目问的是f（2012），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．

解答：解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

1

2

，
∵f（1）=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

取x=2，y=1得f（3）=-

1

2

取x=2，y=2得f（4）=-

1

4

取x=3，y=2得f（5）=-

7

16

取x=3，y=3得f（6）=

1

2

猜想得周期为6
∴f（2012）=f（2）=-

1

4

；f（2013）=f（3）=-

1

2

，
∴f（2013）-f（2012）=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法的应用，准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，考查计算能力．