题目内容
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F分别为AB1，CC1，BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B1F⊥平面AEF．
分析：（1）取AA1，的中点G，连接DG，EG，根据三角形中位线定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性质得到DE∥平面ABC；
（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B1F⊥AF；由勾股定理可得B1F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B1F⊥平面AEF．
（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B1F⊥AF；由勾股定理可得B1F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B1F⊥平面AEF．
解答：
证明：（1）取AA1，的中点G，连接DG，EG
∵D，E为AB1，CC1的中点，
则DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）连结AF，则AF⊥平面BCC1B1．
∵AB=AC，F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC1B1．
又∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC
∴AF⊥平面BCC1B1，
又∵B1F?平面BCC1B1，
∴B1F⊥AF，
在△B1FE中，B1F=
AB，B1=
AB，EF=
AB
由勾股定理易得B1F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF．
证明：（1）取AA1，的中点G，连接DG，EG∵D，E为AB1，CC1的中点，
则DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）连结AF，则AF⊥平面BCC1B1．
∵AB=AC，F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC1B1．
又∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC
∴AF⊥平面BCC1B1，
又∵B1F?平面BCC1B1，
∴B1F⊥AF，
在△B1FE中，B1F=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
由勾股定理易得B1F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答本题的关键．
练习册系列答案
口算能手系列答案
相关题目
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分别是棱CC1、AB中点．
已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．
如图所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′两两垂直，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点，
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中点．
如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC；M．N．P分别是棱BC．CC1．B1C1的中点．