Question

16．已知f（x）=$\frac{kx+b}{e^x}$．
（ I）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；
（ II）求${∫}_{0}^{1}$${\frac{x}{e^x}$dx．

Answer 1

分析 （1）对已知函数求导，利用导数的几何意义得到关于k，b的等式解之；
（2）由Ⅰ的结论得到$\frac{x}{{e}^{x}}$ 的原函数为$\frac{-x-1}{{e}^{x}}$，代入上限和下限计算即可．

解答 解：$f'（x）={（{\frac{kx+b}{e^x}}）^′}=\frac{{k•{e^x}-（{kx+b}）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{-kx+k-b}{e^x}$．
（ I）依题意：$\left\{\begin{array}{l}f'（0）=1\\ f（0）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k-b=1\\ b=1\end{array}\right.$，
解得b=1，k=2；
（ II）设$f'（x）=\frac{-kx+k-b}{e^x}=\frac{x}{e^x}$，则$\left\{\begin{array}{l}-k=1\\ k-b=0\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-1，即$f（x）=\frac{-x-1}{e^x}$，
∴${∫}_{0}^{1}$${\frac{x}{e^x}$dx=$\frac{-x-1}{{e}^{x}}{|}_{0}^{1}$=1-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数求导、导数的几何意义以及定积分的计算； 属于中档题．