如图.已知矩形ABCD的一边AB在x轴上.另两个顶点C.D落在抛物线弧y＝-x2+2x(0＜x＜2)上．设点C的横坐标为x． (1)将矩形ABCD的面积S(x)表示为x的函数, (2)求S(x)的最大值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C，D落在抛物线弧y＝－x²＋2x(0＜x＜2)上．设点C的横坐标为x．

(1)将矩形ABCD的面积S(x)表示为x的函数；

(2)求S(x)的最大值．

答案：
解析：

　　解：因点C的横坐标为x，故C的纵坐标为y＝－x²＋2x，B的坐标(x，0)，A(2－x，0)．

　　矩形ABCD的面积为(1＜x＜2)．

　　令，得．

　　由于，故舍去，于是．　　8分

　　当x∈(1，2)时，的符号如下：

　　所以，S(x)在处取得极大值，结合题意知这个极大值就是最大值．

　　此时，S＝＝．　　16分

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如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC将△ABC折起，使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上，求：

(1)异面直线AB与CD成的角；

(2)异面直线AB与CD的距离；

(3)二面角B－AC－D的大小．

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD

∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A、选修4-1：几何证明选讲

如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2：矩形与变换

已知为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。

C、选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。

D、选修4-5：不等式选讲

已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O为AB中点.

（1）求证：AB⊥平面DCO

（2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？

试求相应的x值的.

（3）求该几何体在(2)的条件下的体积.

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1：几何证明选讲
如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2：矩形与变换
已知为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。
C、选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。
D、选修4-5：不等式选讲
已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

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