Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+a．
（1）若b=a-1求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）若f（x）在（1，3）上存在零点，求$\frac{f（1）}{f（-1）}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对对称轴进行分类讨论，看其与两个端点的距离，确定最值．
（2）构造新函数，换元，确定单调性，由$\frac{b}{a}$的范围得到值域．

解答 解：（1）∵b=a-1
∴函数f（x）的对称轴是x=$\frac{1-a}{2a}$
①a≥1时，f（x）最大值为f（1）=3a-1
②-1＜a＜1，且a≠0时，f（x）最大值为f（-1）=a+1
③a≤-1时，f（x）的最大值是f（$\frac{1-a}{2a}$）=$\frac{3{a}^{2}+2a-1}{4a}$
综上所述f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{3a-1}&{a≥1}\\{a+1}&{-1＜a＜1，且a≠0}\\{\frac{3{a}^{2}+2a-1}{4a}}&{a≤-1}\end{array}\right.$．
（2）∵f（x）在（1，3）上存在零点
∴-$\frac{b}{a}$=x+$\frac{1}{x}$，
∴2＜-$\frac{b}{a}$＜$\frac{10}{3}$，
令y=$\frac{f（1）}{f（-1）}$=$\frac{2a+b}{2a-b}$=$\frac{2+\frac{b}{a}}{2-\frac{b}{a}}$
令t=$\frac{b}{a}$∈（-$\frac{10}{3}$，-2）
∴函数y是单调递增的，
∴y的值域是（-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查分类讨论，构造新函数，换元，确定单调性，由$\frac{b}{a}$的范围得到值域．