Question

13．设函数f（x）=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
（1）若函数f（x）=1-$\sqrt{3}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求x；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式化简，再代值计算即可，
（2）根据正弦函数的单调性求出单调区间，并用描点画图即可．

解答 解　（1）依题设得f（x）=1+cos 2x+$\sqrt{3}$sin 2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1-$\sqrt{3}$，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$．
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，
即x=-$\frac{π}{4}$．
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ （k∈Z），
即-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ （k∈Z），
得函数单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．
列表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	2	3	2	0	-1	0	2

描点连线，得函数图象如图所示：

点评 本题考查了两角和的正弦公式和正弦函数的单调性和图象，属于基础题．