Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，点P（0，$\sqrt{3}$）在椭圆上，A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D，F为椭圆的右焦点．
（1）求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|；
（2）求证：以BD为直径的圆与直径PF相切．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点P（0，$\sqrt{3}$），求得b=$\sqrt{3}$，由离心率公式及a²=b²+c²，即可求得a的值，即可求得椭圆的方程，求得直线PF的直线方程，代入椭圆方程，求得x₁，x₂，根据弦长公式即可求得|PM|；
（2）求得直线AP的方程，与BD的直线方程x=2联立求D点坐标，即可求得圆心及半径R，利用点到直线的距离公式，求得d=R，以BD为直径的圆与直线PF相切．

解答 解：（1）∵椭圆过点P（0，$\sqrt{3}$），
∴b=$\sqrt{3}$，又e=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
故$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
则F（1，0），P（0，$\sqrt{3}$），直线PF的方程为y=-$\sqrt{3}$（x-1），与椭圆方程联立有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$
消去y得到5x²-8x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{x}_{2}=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$    由弦长公式得|PM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{16}{5}$；
（2）证明：过A（-2，0），P（0，$\sqrt{3}$）的直线AP的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+2）
与BD的直线方程x=2联立有D（2，2$\sqrt{3}$），
所以以BD为直径的圆的圆心为（2，$\sqrt{3}$），半径R=$\sqrt{3}$，
圆心到直线PF的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}}）^{2}+1}$=$\sqrt{3}$=R
所以以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和椭圆的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，同时考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式和相切的条件，属于中档题．