Question

下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是

1. A.
   e^x＞ex
2. B.
   x-x²＞0
3. C.
   sinx＞-x+1
4. D.
   x＞ln（1+x）

Answer 1

D
分析：要判断一个不等式不是恒成立的，我们可举一个使不等式不成立的反例即可，如当x=1时，A中e^x＞ex与中x-x²＞0均不成立，也可以利用函数的图象进行分析，如对C答案的判断，当要说明不等式恒成立时，我们要助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．
解答：当x=1时，e^x=ex，故A中e^x＞ex对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
当x=1时，x-x²=0，故B中x-x²＞0对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，）上函数值由0递增到1，
y=-x+1在（0，）上函数值由1递减到1-，
故在区间（0，）上存在实数x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
而∵函数y=x-ln（1+x）的导函数y'=1-在x∈（0，+∞）有，y'＞0恒成立
故y=x-ln（1+x）在区间（0，+∞）上为增函数，y＞y|_x=0=0，
故x＞ln（1+x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立
故选D
点评：解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．