Question

下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（　　）

A．x-x²≥0

B．e^x≥ex

C．lnx＞x

D．sinx＞-x+1

Answer 1

分析：对于A，C，D分别列举反例，对于B，构造函数f（x）=e^x-ex，利用导数可求f（x）的最小值为0，故可判断．

解答：解：对于A，x=3时，显然不成立；
对于B，设f（x）=e^x-ex，∴f′（x）=e^x-e，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x=1时，f（x）取得最小值为0，∴f（x）≥0，∴e^x≥ex，故B正确；
对于C，x=e时，显然不成立；
对于D，x=π时，显然不成立；
故选B．

点评：本题以命题为载体，考查恒成立问题，解题时，错误的结论列举反例，正确的结论需要严格的逻辑证明．