题目内容
下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（ ）
| A．ex＞ex | B．x-x2＞0 | C．sinx＞-x+1 | D．x＞ln（1+x） |
当x=1时，ex=ex，故A中ex＞ex对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
当x=1时，x-x2=0，故B中x-x2＞0对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，
）上函数值由0递增到1，
y=-x+1在（0，
）上函数值由1递减到1-
，
故在区间（0，
）上存在实数x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
而∵函数y=x-ln（1+x）的导函数y'=1-
在x∈（0，+∞）有，y'＞0恒成立
故y=x-ln（1+x）在区间（0，+∞）上为增函数，y＞y|x=0=0，
故x＞ln（1+x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立
故选D
当x=1时，x-x2=0，故B中x-x2＞0对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，
| π |
| 2 |
y=-x+1在（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故在区间（0，
| π |
| 2 |
而∵函数y=x-ln（1+x）的导函数y'=1-
| 1 |
| x |
故y=x-ln（1+x）在区间（0，+∞）上为增函数，y＞y|x=0=0，
故x＞ln（1+x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立
故选D
练习册系列答案
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下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（ ）
| A、ex＞ex | B、x-x2＞0 | C、sinx＞-x+1 | D、x＞ln（1+x） |