Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，讨论函数的零点个数；

（2）若在上单调递增，且求c的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；

（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.

（1）当时,,定义域为,

由可得,

令,则,

由,得；由,得,

所以在上单调递增,在上单调递减,

则的最大值为,

且当时,；当时,,

由此作出函数的大致图象,如图所示.

由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；

当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；

当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.

（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,

设,则,

①若,则,则在上单调递减,显然,

在上不恒成立；

②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；

③若,当时,,单调递减,

当时,,单调递增,

所以,

由,得,

设,则,

当时,,单调递减；

当时,,单调递增,

所以,所以,

又,所以,即c的最大值为2.