Question

【题目】已知分别是椭圆的左右焦点.

（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点的坐标.

（Ⅱ）若直线与圆相切，交椭圆于两点，是否存在这样的直线，使得？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）由椭圆标准方程得到焦点坐标，设，利用以及点P在椭圆上，联立方程组，求出P点坐标。

（Ⅱ）设直线的方程为，由圆心到直线的距离为，得出，直线的方程与椭圆方程联立，整理得，，由韦达定理求出、，由与的关系求出，代入，进而得出，即可得出不存在这样的直线，使得

解（Ⅰ）因为椭圆方程为，知

，设，

则

又，联立

解得，

（Ⅱ）不存在这样的直线，使得

设

①若的斜率不存在时，，代入椭圆方程得，

容易得出，此时不成立

②若的斜率存在时，设

则由已知可得，即

由

则

要，则,

即

即，又，

，

从而，此方程无实解，此时不成立,

综上，不存在这样的直线，使得