Question

【题目】已知：定义在上的函数的极大值为.

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）先求出的导数，分析单调性，根据极大值为，对应的导数为0，求出的值；

（2）根据（1）得出函数的单调性，可以作出函数的图象，再根据条件有，或，然后根据图象找条件求出的范围；

（1）函数的定义域为，

，

∵方程的，

故方程有两个不相等的实数根，设，

则，

则当时，；当时，，

故在单调递减，在单调递增，

由于数的极大值为，可得，

即，解得；

（2）又（1）可得，，

故当时，；当时，；当时，，

又在单调递减，在单调递增，

由于，

，

函数的大致图象如下：

由不等式有且只有一个整数解；

则 或有且只有一个整数解；

故或，即或，

∴或，

故实数的取值范围为.