Question

1．已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD⊥平面AEC，且$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，AD=2EF，EF∥AD．
（Ⅰ）求证：平面FCE⊥平面ADE；
（Ⅱ）若直线AE与平面ACF所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：EC⊥平面ADE，即可证明平面FCE⊥平面ADE；
（Ⅱ）若直线AE与平面ACF所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，建立空间直角坐标系，利用向量方法求AD的值．

解答 （Ⅰ）证明：因为AD⊥平面AEC，EC?平面AEC，所以AD⊥EC．
又$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，所以AC²=AE²+EC²，所以AE⊥EC．
又AE∩AD=A，所以EC⊥平面ADE．
因为EC?平面FCE，所以平面FCE⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：以A为原点，AC，AD所在直线为x，y轴，过点A且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2a（a＞0），则A（0，0，0），$C（{\sqrt{2}，0，0}）$，$E（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$F（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-a，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
设平面ACF的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，因为$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{2}，0，0}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-a，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x=0\\ \frac{{\sqrt{2}}}{2}x-ay+\frac{{\sqrt{2}}}{2}z=0\end{array}\right.$取$z=\sqrt{2}$，得$y=\frac{1}{a}$，则$\overrightarrow m=（{0，\frac{1}{a}，\sqrt{2}}）$．
又因为$\overrightarrow{AE}=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，设直线AE与平面ACF所成的角为θ，则$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow{AE}}||{\overrightarrow m}|}}$=$\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{a^2}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
解得a=1（a=-1舍去），故AD=2．

点评 本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直的证明，考查直线AE与平面ACF所成的角的求法，考查向量方法的运用，属于中档题．