Question

12．已知椭圆M过定点B（-4，0），且和定圆（x-4）²+y²=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x≤-2）．

Answer 1

分析 动圆圆心为M，半径为r，已知圆圆心为C，半径为4 由题意知：MA=r，MC=r+4，或MA=r+3，MC=r，所以|MC-MA|=4 即动点M到两定点的距离之差为常数4，M在以A、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心M的轨迹方程．

解答 解：动圆圆心为M，半径为r，已知圆圆心为C，半径为4 由题意知：MA=r，MC=r+4，或MA=r+3，MC=r，
所以|MC-MA|=4
即动点M到两定点的距离之差为常数4，M在以A、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8
∴b=2$\sqrt{3}$，
∴动圆圆心M的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．