Question

3．甲、乙两地相距200千米，小型卡车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过150千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，且比例系数为$\frac{1}{250}$；固定部分为40元．
（1）把全程运输成本y元表示为速度v千米/小时的函数，并指出这个函数的定义域，
（2）为了使全程运输成本最小，卡车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析 （1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为$\frac{200}{v}$小时，即可求出全程运输成本；
（2）用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）∵甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过150千米/小时，
汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
∴汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为$\frac{200}{v}$小时，
全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：$y=\frac{200}{v}（\frac{1}{250}{v^2}+40）0＜v≤150$
（2）$y=\frac{200}{v}（\frac{1}{250}{v^2}+40）=\frac{4}{5}v+\frac{8000}{v}≥2\sqrt{\frac{4}{5}v•\frac{8000}{v}}=160（0＜v≤150）$
当且仅当$\frac{4}{5}v=\frac{8000}{v}即v=100$时等号成立．

点评 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．