Question

过抛物线y=x²的顶点O任作两条互相垂直的弦OA、OB，若分别以OA、OB为直径作圆，则两圆的另一交点C的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B坐标；利用向量垂直的充要条件得到A，B纵坐标的乘积是常数；写出以OA，OB为直径的圆；将A，B点的纵坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理表示出A，B的纵坐标乘积；列出等式得到p的轨迹方程．

解答： 解：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由于OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
则x₁²x₂²+x₁x₂=0，即x₁•x₂=-1①
以OA为直径的圆为x（x-x₁）+y（y-x₁²）=0，
以OB为直径的圆为x（x-x₂）+y（y-x₂²）=0，
设P（x₀，y₀）为两圆的交点，
所以x₁，x₂可以看做关于z的方程x₀（x₀-z）+y₀（y₀-z²）=0的两个根，
即y₀z²+x₀z-（x₀²+y₀²）=0，
由韦达定理得x₁•x₂=-

x02+y02

y0

，
结合①得x₀²+y₀²=y₀，
所以P的轨迹方程是x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．
故答案为：x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．

点评：本题考查抛物线方程的运用，考查向量垂直的充要条件、以一线段为直径的圆的方程、二次方程的根与系数的关系．